The Dark Side of Hardware Upgrade Forum

Ho due operatori A,B \in L_c(X,X) con X di Banach. Se il commutatore è zero [A,B]=AB-BA=0 allora e^{zA}e^{zB}=e^{z(A+B)} con z \in C. Why? Esplicitamente vale per H un generico operatore, e^{zH}=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{H^i z^i}{i!}. So che nella dimostrazione data la premessa di commutatività si può fare uso dello sviluppo del binomio, ma una volta che scrivo esplicitamente la formula non so come proseguire. Su wolfram alternate form non funzia su link. Qualcuno sa il passaggio algebrico? Non trovo neppure qualcosa su internet.

grazie ma non fumo

wlog, z=1.




pcoso metti il plugin LaTeX

troppo sbatti

thx

Dove ho usato l'ipotesi che gli operatori commutino?

Non lo so Devo ancora capire come si va avanti da quando viene introdotta la l

Rileggendo il primo post ho notato che l'hai scritto, quindi in realtà lo sai.

In pratica quello che fai è considerare nella doppia sommatoria i termini a m+n=costante (l appunto), moltiplichi e dividi per l! e fai vedere che salta fuori proprio il binomio.

Ovviamente tutto questo è molto, molto importante.

Vabé, so che l'ho scritto. Lo so a parole ma non ho visto nella formula dove li scambi, per questo ho detto non lo so. A cosa ti riferisci quando dici che è importante?

faco

La commutatività sta nel penultimo passaggio. Senza di essa non potresti usare lo sviluppo del binomio.
Esempio:

A parte il sarcasmo (?) di faco, io non riesco proprio a capire il passaggio ad l e quello successivo. Mi auguro sia una cosa provabile per induzione e non intuitiva perché proprio non ci arrivo. Link a qualche fonte?

Lettura a zigzag di una matrice.
Tralascia quel "elle fattoriale" la cui applicazione è banale e ragiona su perché compare la sommatoria su l.
Fai conto che gli elementi della sommatoria su n e m li puoi mettere in una matrice, nel senso che l'elemento nm-esimo sta alla riga n e alla colonna m. Perciò la sommatoria su n e m significa che devi sommare tutti gli elementi di questa matrice.
Ci siamo?
Ora, se in ogni elemento di questa matrice fai la somma tra n e m otterrai dei valori caratteristici di ogni cella schematizzabili così:

0 1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
2 3 4 5 6 7 .......
3 ..................

Tu tutti questi elementi li devi sommare, no? Allora prima cominci a sommare gli elementi con n+m=0(ce n'è uno solo) poi passi a quelli con n+m=1(ce ne sono due), poi a quelli con 2, ecc....
In fondo stai sempre facendo la sommatoria su n e m, dato che alla fine ogni elemento di quella matrice lo aggiungi alla somma totale.
Quindi stai facendo una sommatoria in base ad un certo indice l, che parte da 0, e per ogni valore di l sommi gli elementi per i quali n+m è pari a proprio a l.
Nell'esempio qui sotto ogni riga è un elemento della sommatoria su l, e ogni riga è composta dai termini della sommatoria con n+m=l.

Somma=
(0,0)+
+(0,1)+(1,0)+
+(0,2)+(1,1)+(2,0)+
+(0,3)+(1,2)+(2,1)+(3,0)+
+...

Cerca in rete sulla corrispondenza biunivoca tra i numeri naturali N e i numeri razionali Q...

Mettiamo qualche passaggio in più, va'....

Quindi se lo penso in forma matriciale limito la somma agli elementi nord-ovest con il rapporto righe-colonne vincolato a n+m=l. Ma nel punto dal primo al secondo passaggio del tuo ultimo post, quando introduco questo l, ed espando per esempio prima rispetto a l=2 e poi rispetto ad n ed m, le somme rispetto ad m ed n sono sempre ripetute da capo ad ogni nuovo valore di l:

+(0,0)+
(l=0)
+(0,0)+
+(0,1)+(1,0)+
(l=1)
+(0,0)+
+(0,1)+(1,0)+
+(0,2)+(1,1)+(2,0)+
(l=2)
...

Mentre se espando il primo termine fino a n=m=2 ottengo:
+(0,0)+
+(0,1)+(1,0)+
+(0,2)+(1,1)+(2,0)+

E gli elementi della espansione del primo termine (verde) sono diversi dagli elementi del secondo (blu). Dove sbaglio? Puoi scrivermi una somma parziale di questo tipo?

No:

+(0,0)+
(l=0)
+(0,0)+non rispetta la condizione n+m=1
+(0,1)+(1,0)+
(l=1)
+(0,0)+non rispetta la condizione n+m=2
+(0,1)+(1,0)+non rispetta la condizione n+m=2
+(0,2)+(1,1)+(2,0)+
(l=2)

quei termini in grassetto non vengono inclusi.

Se nella sommatoria c'è scritto n+m=l e in quel momento assegni ad l il valore 3 verranno sommati SOLO i termini tali che n+m=3:
(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)
e non anche
(0,0), (1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (0,2)
perché questi non hanno n e m tali che la loro somma sia 3.

Le espansioni che hai scritto tu andrebbero bene con la condizione n+m<=l.

Grazie, stavo andando in crisi

Ti mando gli estremi postepay.

Ti ho gabbato un'altra volta

Ovviamente lo so dove l'ho usata, ho messo quella domanda per essere sicuro che Aldin ci pensasse, visto che è il punto chiave e che uno potrebbe non pensarci visto che è abituato a vedere lo sviluppo del binomio da anni e anni.




Nessun sarcasmo!

Matematici...
(cit.)

Sono le dispense di metodi matematici di Ortolani Appena finite cerco qualche libro da tenere come riferimento. Anche se mica sono fatte male, solo che spesso c'è qualche passaggio troppo ovvio per essere esplicitato

cos'è?

Con Ortolani ho dato l'esame di metodi "1 e 2 combo" .
Mentre mi preparavo per lo scritto ho pensato "ma ti pare che ci fa fare il metodo dei residui per un integrale col logaritmo...". Allo scritto: integrale col logaritmo.
Agli orali ho mimato suggerimenti su una domanda sulla serie di Laurent a una tipa bombabile, ha passato l'esame grazie a me ma non me l'ha data.

P.S.
Occhio che sulle dispense c'è qualche errore sparso, almeno quelle che avevo io con tutta quella pappardella sulle distribuzioni.

Roba per adulti, piccola.